IEEE浮点表示(IEEE 754)
¶简介
浮点数是我们在程序里常用的数据类型，它在内存中到底是怎么样的形式存在的呢？
现代计算机中，一般都以IEEE 754标准存储浮点数，IEEE标准用: V=(-1)^s x M x 2^E 来表示一个浮点数
- 符号: s决定这个数是正数还是负数
- 尾数: M是一个二进制小数
- 阶码: E是对浮点数进行加权，权重是2的E次幂
| 符号 | 阶码 | 尾数 |
|---|---|---|
| sign | exponent | fraction |
对于不同长度的浮点数，阶码与小数位分配的数量不一样，如下：
| 精度 | 数符 | 阶码 | 尾数 | 总位数 | 偏移值 |
|---|---|---|---|---|---|
| 单精度(C中的float) | 1 | 8 | 23 | 32 | 127 |
| 双精度(C中的double) | 1 | 11 | 52 | 64 | 1023 |
对于32位的单精度浮点数，数符分配是1位，阶码分配了8位，尾数分配了是23位。
根据这个标准，我们来尝试把一个十进制的浮点数转换为IEEE 754标准表示。
¶规格化的值
最普遍的情况，当exp的位模式不全为0（数值0），也不全为1（单精度255，双精度2047）
例如：178.125
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先把浮点数分别把整数部分和小数部分转换成2进制
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整数部分用除2取余的方法，求得：10110010
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小数部分用乘2取整的方法，求得：001
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合起来即是：10110010.001
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转换成二进制的浮点数，即把小数点移动到整数位只有1，即为：1.0110010001 * 2^111，111是二进制，由于左移了7位，所以是111
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把浮点数转换二进制后，这里基本已经可以得出对应3部分的值了
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数符：由于浮点数是正数，故为0.(负数为1)
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阶码 : 阶码的计算公式：阶数 + 偏移量， 阶码是需要作移码运算，在转换出来的二进制数里，阶数是111(十进制为7)，对于单精度的浮点数，偏移值为01111111(127)[偏移量的计算是：2^(e-1)-1， e为阶码的位数，即为8，因此偏移值是127]，即：111+01111111 = 10000110
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尾数：小数点后面的数，即0110010001
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最终根据位置填到对位的位置上：
数符 阶码 尾数 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 阶码与尾数之间隐含小数点
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可能有个疑问：小数点前面的1去哪里了？由于尾数部分是规格化表示的，最高位总是“1”
我们将尾数定义为M=1+f，小数字段被描述为小数值f，其中0<=f<1，其二进制表示为：
也就是二进制小数点在最高有效位的左边。
我们也可以把M看成一个二进制表达式为下图的数字，也总能调整阶码使得尾数M的范围在1到2之间。
既然第一位总是1，那就可以直接隐藏不需要显示出来，同时也能够获得一个额外的精度位。
¶非规格化的值
当阶码全为0时，所表示的数非规格化的形式。这种情况下，阶码的值是1-Bias，尾数M=f，也就是小数字段的值，不包含隐含开头的1。
非规格化有两个用途：
- 一是提供一种表示数值0的方法，因为使用规格化的数我们必须使M>=1，无法表示0。
- 二是表示那些非常接近0的数。
¶拓展
¶乘2取整法
考虑一个十进制小数0.123，我们可以用“乘10取整”法得到它的每一位小数：第一位小数是0.123 *10=1.23，取整数1；第二位小数：0.23 *10=2.3，取整数2
上面的方法供你直观理解，下面我们从数学的角度分析其中的原理。
现在有一个十进制小数为0.625，要把它转换为二进制小数，我们需要找到它的每一位。记这个二进制小数点后第1位是$a_1$，第二位是$a_2$，……，那么这个小数的值就是$ a_1 \ast {\frac{1}{2}}^{-1}+a_2 \ast {\frac{1}{2}}^{-2}+a_3 \ast {\frac{1}{2}}^{-3}+… $ 。现在我们的目标是根据0.625找到对应的$ a_1，a_2，a_3$ ，…使得$ 0.625=a_1 \ast {\frac{1}{2}}^{-1}+a_2 \ast {\frac{1}{2}}^{-2}+a_3 \ast {\frac{1}{2}}^{-3}+… $
在等式两边同时乘以2，得到$1.25=a_1 \ast {\frac{1}{2}}^{0}+a_2 \ast {\frac{1}{2}}^{-1}+a_3 \ast {\frac{1}{2}}^{-2}+…$
我们发现，左边的整数部分1对应右边的$a_1$，也就是二进制小数的第一位，于是$a_1=1$，对于剩下的部分：
$0.25=a_2 \ast {\frac{1}{2}}^{-1}+a_3 \ast {\frac{1}{2}}^{-2}+…$
我们再次乘以2，得到$0.5=a_2 \ast {\frac{1}{2}}^{0}+a_3 \ast {\frac{1}{2}}^{-1}+… $于是$a_2=0$
再乘以2，得到$1=a_3 \ast {\frac{1}{2}}^{0}+…$， 于是$a_3=1$，到这里，所有的数都消耗完了，我们找到了0.625对应的二进制小数：0.101